Jag har hällt ut min hjärna och så småningom har jag hittat en trevlig matematisk metod för att bevisa detta och bestämde mig för att svara på min egen fråga. I en sådan krets skulle lösning av vilken spänning / ström som helst över / genom vilken komponent som helst (jag kallar det \ $ f \ $) alltid leda dig till att konstruera en differentialekvation som alltid är linjär med konstanta koefficienter (på grund av linjära egenskaper av passiva komponenter) och icke-homogena (på grund av sinusformad ingång). En sådan differentialekvation kommer alltid att ha denna form: $$ a \ frac {d ^ nf} {dt ^ n} + b \ frac {d ^ {n-1} f} {dt ^ {n-1}} +. .. + j \ frac {df} {dt} + kf = C \ sin {(\ omega t + \ theta)} $$ där \ $ a ... k \ $ är konstanter (kombinationer av induktans, motstånd etc.) ), \ $ n \ $ är ordningen på differentialekvationen (som återspeglar antalet energilagringselement i kretsen) och \ $ C \ sin {(\ omega t + \ theta)} \ $ är en generaliserad sinusformad funktion som beskriver ingången. En allmän lösning på denna differentiella ekvation kommer alltid att ha denna form: $$ f = \ text {(allmän homogen lösning)} + \ text {(särskild lösning)} $$ där den specifika lösningen \ $ = A \ sin {(\ omega t + \ theta)} + B \ cos {(\ omega t + \ theta)} \ $ vilket är en sinusfunktion med samma frekvens! Nu, vid AC-kretsanalys, tittar vi alltid på kretsen i steady state, när den homogena lösningen närmar sig noll (vilket oundvikligen händer på grund av motstånd i kretsen).

Detta är only sant för LTI-kretsar (Linear Time-Invariant).Om du har en icke-idealisk komponent (och alla är i en eller annan grad) ser du övertoner för ingångsfrekvensen i utgången.Induktorer tenderar att vara det värsta, men alla passiva delar har sådant beteende.Till exempel kan kondensatorer uppvisa stark spänningskoefficient och är inte tidsvarierande på grund av dielektrisk absorption.

För en okomplicerad (förutsatt ungefär 2: a årets matematiska kunskaper) kan du läsa dessa Berkeley-kurser (EECS20N: Signaler och system).Du kan ladda ner hela texten här.

Det händer för att en sinusvåg bara är en rad i frekvensspektrumet och oavsett vad du gör med den med hjälp av ett linjärt filter eller förstärkare, allt som händer är att fasen eller amplituden skiftar.

Om det var en fyrkantig våg (oändliga övertoner) skulle en användning av ett filter dämpa eller förstärka vissa frekvenser mer än andra och kvadratvågen skulle förlora sin igenkännbara fyrkantiga form.

Kvadratiska övertoner: -

Gif-källa

Den grundläggande anledningen är att de ingående ekvationerna av idealiska R-, L- och C-komponenter är linjära, tidsinvaranta ekvationer som endast involverar derivat och integraler (båda linjära operationer) och att sinus och cosinus förändras till andra sines och cosinus när de handlas på sådana linjära operatörer.

Derivat och integral av en sinusfunktion är en annan sinusfunktion med samma frekvens (den kan bara förändras i amplitud och fas). KCL och KVL kan bara leda till algebraiska summor av sådana sinusfunktioner, och den operationen kan bara producera en annan sinusfunktion. I slutändan, när du ansluter R, L och C till ett nätverk, kommer en sinusformad ingång alltid att leda till en sinusformad utgång.

Se mitt andra svar här.

Allt detta är en direkt följd av den exponentiella funktionens självlikhet (relaterad till sinus och cosinus genom Eulers ekvation). Du kanske vill läsa det första kapitlet i Giorgi, The Physics of Waves för att få en fullständig förklaring till det.

(Observera att den här egenskapen att förvandlas till en skalad och tidsförskjuten kopia av sig själv i ett intervall som sträcker sig från \ $ t = - \ infty \ $ till \ $ t = + \ infty \ $ dess unika till generaliserade sinusformade funktioner - alla andra funktioner kommer att bli "deformerade" av den linjära tidsinvaranta kretsen. Lösningar av ett linjärt system som är skalade kopior av sig själva som i \ $ A \ x = \ lambda \ x \ $ (där \ $ \ lambda \ $ är en komplex skalärbärande information om dämpning och fasförskjutning) kallas karakteristiska eller korrekta eller egenlösningar för systemen. De kan användas för att bygga en ortogonal bas med egenskapen att någon annan (väluppfostrad) funktion kan sönderdelas som en generaliserad summa av sådana elementära tegelstenar - och detta leder dig rakt in i Fourier-seriens territorium, men det är en annan historia).

En kortfattad förklaring ges i det första svaret på denna fråga om Math SE: Varför använder vi trig-funktioner i Fourier-transformationer, och inte andra periodiska funktioner?

Fourier-grundfunktionerna \ $ e ^ {iωx} \ $ är egenfunktioner för skiftet operatör \ $ S_h \ $ som mappar en funktion \ $ f (x) \ $ till funktionen \ $ f (x − h) \ $: \ $ e ^ {iω (x − h)} = e ^ {- iωh} e ^ {iωx} \ $ för alla \ $ x∈R \ $.

Detta gäller bara när passiva element begränsas till R, L, C och kanske kristaller som drivs ordentligt - och även då finns det två undantag, se nedan. Avsiktliga och oavsiktliga dioder, varistorer, termistorer med en termisk massa och andra icke-linjära element kan snabbt introducera snedvridningar till en ren sinusformad ingång. Överdrivna kristaller eller keramiska filter kan också fungera ganska olinjära. Om två-terminalelement med negativt motstånd (gasurladdningsrör, tunneldioder) ingår i den passiva kategorin finns ännu fler möjligheter.

Undantagen:

Verkliga delar tenderar att ha brister som gör att de beter sig lite som vissa icke-linjära element. Motstånd kan ha "termistor med en termisk massa" och till och med "varistor" -beteende. Kondensatorer kan ha spänningsberoende i sitt värde på grund av piezoelektriska effekter, elektriska fält som ger mekanisk kraft, kemiska effekter (i elektrolytik). Vissa elektretliknande effekter verkar också vara dokumenterade för kondensatorer. Fogar av metall till metall kan utveckla diodliknande beteenden. Induktorer kan bli olinjära genom kärnmättnad, magnetfältets interaktion med metallföremål i närheten osv ...

Alla resistiva komponenter som har en ström uppvisar vissa brusgenererande beteenden, vars nedre gränser definieras av hård fysik.

Tänk på att alla verkliga till synes icke-sinusformade, upprepade signaler perfekt kan beskrivas som en summa av sinusvågor av varierande frekvenser och faser.

Att leta efter kopplingen till naturen kommer att få dig att gå i cirklar: Sinusvågor är den viktigaste ingrediensen i att skapa cirklar och ovaler och runda saker, enligt matematiska nördar (om du vill rita en cirkel på en dator, kommer du vanligtvisanvänd antingen sinus- / cosinusfunktioner eller använd pythagoras sats direkt på något sätt ...).Naturen gör många runda saker (hår, stjälkar, körsbär, körsbärsfläckar, tornados osv.) Och håller en riklig tillgång på sinusvågor runt för det ändamålet.

Antingen är din utgångspunkt falsk eller så har du inte ordentligt formulerat gränsvillkoren.

Tänk på en enkel passiv enhet som en diod.Den kommer att uppvisa en icke-linjär överföringsegenskap som resulterar i en icke-sinusformad utgång för en given

Tänk också på en ideal resonanskrets (LC) med en överföringsfunktion som resulterar i nollutgång - alltså icke-sinusformad.

En "krets" anses vanligtvis vara ett nätverk av komponenter, med en "ingång" och en "utgång" -port. Med nätverksteori, som Ohms Law, kan du härleda en ekvation, "överföringsfunktionen", som beskriver utdata i termer av ingången. Med "linjära" komponenter hittar du alltid en "linjär" överföringsfunktion.

Låt oss beskriva några linjära komponenter med funktioner som output = F (input) , output2 = G (input2) osv. Sedan leder kombinationen av sådana komponenter till en kombinerad funktion som output2 = G (F (input1)) . Eftersom båda funktionerna är linjära, alltså av formen y = a * x + b , är dessa kombinationer också linjära.

Vid tillförsel av en sinusformig insignal till det linjära nätverket kan utgången förstärkas med faktorn a och förskjutas med spänningen b. Med komplexa matematiska eller differentiella ekvationer kan du till och med få "fasförskjutning", men inte en annan frekvens, eftersom derivatet av en sinus har samma frekvens.

Vill du ha det här ännu mer formellt?

Egenfunktionerna för linjära tidsinvaranta system (och passiva nätverk är i allmänhet av det slaget) är komplexa exponentialer, och deras verkliga överlag är sinoider av godtycklig fas.

En egenfunktion är en funktion som endast ändras med en konstant (i detta fall komplexa) faktor när den sätts igenom ett system.Linjära system är de där utgången som motsvarar summan av flera ingångar motsvarar summan av utgången för de enskilda ingångarna, så att du alltid kan analysera dem genom att uttrycka deras ingång som en bekväm summa.Om denna summa kan vara en summa uttryckt i en ortogonal egenfunktionsbas blir saker så mycket lättare.

Hej Fourier-analys.