Cirkelrörelse producerar en sinusvåg naturligt: ​​-

Det är bara en mycket naturlig och grundläggande sak att göra och att försöka producera vågformer som är olika är antingen mer komplicerat eller leder till oönskade biverkningar.

Upp och ner rörelse (i naturen) ger en sinusvåg mot tiden: -

Cosinus och sinusvågor (faktiskt deras beståndsdelar i form av komplexa exponentialer) är Eigenfunktionerna för linjära, tidsinvaranta system, som har ett tidsberoende systemsvar på $$ \ begin {align} f \ bigl (a ( t) + b (t), t_0 \ bigr) & = f \ bigl (a (t), t_0 \ bigr) + f \ bigl (b (t), t_0 \ bigr) && \ text {linjäritet} \\ f \ bigl (a (t + h), t_0 \ bigr) & = f \ bigl (a (t), t_0 + h \ bigr) && \ text {tidsinvarians} \ end {align} $$ Om du bygger något nätverk från linjära passiva komponenter (motstånd, induktorer, kondensatorer på detta StackExchange) och matar den med en kontinuerlig sinoid signal, då kommer varje punkt i nätverket att leverera en kontinuerlig sinoid signal med möjligen olika fas och storlek.

Nej annan vågform kommer vanligtvis att bevaras eftersom svaret kommer att vara annorlunda för olika ingångsfrekvenser, så om du sönderdelar någon ingång i dess sinoidala komponenter med unik frekvens, kontrollera nätverkets individuella svar på dessa och r när de resulterande sinoidala signalerna samlas, kommer resultatet i allmänhet inte att ha samma förhållanden mellan dess sinoidkomponenter som ursprungligen.

Så Fourier-analys är ganska viktigt: passiva nätverk svarar direkt på sinoidala signaler, så sönderdelar allt i sinoider tillbaka är ett viktigt verktyg för att analysera kretsar.

Saker oscillerar efter sinus och cosinus. Mekanisk, elektrisk, akustisk, du heter det. Häng en massa på en fjäder och den studsar upp och ner vid sin resonansfrekvens enligt sinusfunktionen. En LC-krets kommer att fungera på samma sätt, bara med strömmar och spänningar istället för hastighet och kraft.

En sinusvåg består av en enda frekvenskomponent och andra vågformer kan byggas upp från att lägga till flera olika sinusvågor. Du kan se frekvenskomponenterna i en signal genom att titta på den i en spektrumanalysator. Eftersom en spektrumanalysator sveper ett smalt filter över det frekvensområde du tittar på ser du en topp vid varje frekvens som signalen innehåller. För en sinusvåg ser du en topp. För en fyrkantig våg ser du toppar a f, 3f, 5f, 7f, etc.

Sinus och cosinus är också projiceringen av saker som roterar. Ta till exempel en växelströmsgenerator. En växelströmsgenerator snurrar en magnet bredvid en trådspole. När magneten roterar kommer fältet som stöter på spolen på grund av magneten att variera beroende på sinus på axelvinkeln, vilket genererar en spänning över spolen som också är proportionell mot sinusfunktionen.

I en mer matematisk och fysisk mening varför sinus och cosinus råkar vara grunden för vågor kan ha sina rötter på Pythagoras sats och kalkyl.

Pythagoras sats gav oss denna pärla, med sines och cosinus :

$$ \ mathrm {sin} ^ 2 (t) + \ mathrm {cos} ^ 2 (t) = 1, t \ in \ mathbb {R} $$

Detta gjorde sines och cosinos att avbryta varandra i de inversa kvadratiska lagarna som sprider sig i hela fysikvärlden.

Och med kalkyl har vi detta:

$$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ mathrm {sin} x = \ mathrm {cos} x $$

$$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ mathrm {cos} x = - \ mathrm {sin} x $$

Detta innebär att någon form av kalkyloperation skulle bevara sines och cosines om det finns en av dem.

Till exempel, när vi löser den ögonblickliga positionen av objektet i Hookes lag (liknande form också överallt) har vi detta:

$$ - kx = F = m \ frac {\ mathrm {d} ^ 2} {\ mathrm {d} t ^ 2} x $$

Och lösningen råkar vara en linjär funktion av \ $ x = \ mathrm {sin} (t) \ $.

Forskare valde inte sinusvåg, det var vad de fick från en växelströmsgenerator. I växelströmsgeneratorn genereras sinusvåg på grund av rotorrörelsen inuti ett magnetfält. Det finns inget enkelt sätt att göra det på annat sätt. Se denna figur i Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

Sinusvågor innehåller bara en frekvens. En kvadrat- eller triangelvåg är en summa av oändlig mängd sinusvågor som är övertoner i grundfrekvensen.

Derivat av en perfekt kvadratvåg (har noll stigning / falltid) är oändlig när den ändras från låg till hög eller vice versa. Derivatet av en perfekt triangelvåg är oändlig längst upp och ned.

En praktisk konsekvens av detta är att det är svårare att överföra en fyrkant / triangel signal, säg över en kabel jämfört med en signal som är bara en sinusvåg.

En annan konsekvens är att en fyrkantvåg tenderar att generera mycket mer utstrålat brus jämfört med en sinusvåg. Eftersom den innehåller mycket övertoner kan dessa övertoner stråla ut. Ett typiskt exempel är klockan till en SDRAM på ett kretskort. Om den inte dirigeras med försiktighet kommer den att generera mycket utstrålad utsläpp. Detta kan orsaka misslyckanden i EMC-testning.

En sinusvåg kan också stråla ut, men då skulle endast sinusvågfrekvensen stråla ut.

Först och främst är sinus- och cosinusfunktionerna enhetligt kontinuerliga (så det finns inga diskontinuerliga punkter någonstans i deras domän) och oändligt differentierbara på hela den verkliga linjen. De kan också enkelt beräknas med en Taylor-seriens expansion.

Dessa egenskaper är särskilt användbara för att definiera Fourier-seriens expansion av periodiska funktioner på den verkliga linjen. Så icke-sinusformade vågformer som fyrkant, sågtand och triangelvågor kan representeras som en oändlig summa av sinusfunktioner. Ergo, sinusvågen utgör grunden för harmonisk analys och är den mest matematiskt enkla vågformen att beskriva.

Vi gillar alltid att arbeta med linjära matematiska modeller av fysiska verkligheter på grund av att det är enkelt att arbeta med. Sinusformade funktioner är 'egenfunktioner' av linjära system.

Detta betyder att om ingången är \ $ \ sin (t) \ $
utdata har formen \ $ A \ cdot \ sin (t + \ phi) \ $

Funktionen förblir densamma och är bara skalad i amplitud och förskjuten tid. Detta ger oss en bra uppfattning om vad som händer med signalen om den sprids genom systemet.

Sine / Cosine är lösningar av andra ordningens linjära differentialekvationer.

sin '= cos, cos' = - sin

Grundläggande elektroniska element som induktorer och kondensatorer ger antingen en integration av en differentiering av ström till spänning.

Genom att sönderdela godtyckliga signaler i sinusvågor kan differenti ekvationer lätt analyseras.

Ett sätt att se på det, i ett nötskal, är att en harmonisk serie av sinus- och cosinusfunktioner bildar en ortogonal bas för ett linjärt vektorutrymme med verkligt värderade funktioner på ett begränsat tidsintervall. Således kan en funktion på ett tidsintervall representeras som en linjär kombination av harmoniskt relaterade sinus- och cosinusfunktioner.

Naturligtvis kan du använda någon annan uppsättning funktioner (t.ex. vissa wavelets) så länge de bildar en giltig basuppsättning och sönderdela funktionen av intresse på det sättet. Ibland kan sådana nedbrytningar vara användbara, men hittills känner vi bara till specialapplikationer för dem.

Att ta en geometrisk analogi: du kan använda en icke-ortogonal grund för att beskriva komponenterna i en vektor. Till exempel kan en vektor på en ortonormal basis ha komponenter av [1,8, -4] . På någon annan, icke-ortonormal basis kan den ha komponenter av [21, -43,12] . Huruvida denna uppsättning komponenter är lättare eller svårare att tolka än den vanliga ortonormala grunden beror på vad du försöker göra.

1. mindre förluster
2. mindre antal övertoner
3. ingen störning med kommunikationslinjen
4. mycket mindre distrosionseffekt
5. maskinen kör sin effektivitet
6. väldigt lite övergående beteende i fall L och C